Учебники Онлайн


Отношение логического следования между формулами

Между определенными формулами логики высказываний существует отношение логического следования. Это означает: если из формулы вида следует формула вида то каждый раз, когда формула. Р истинна, то и формула. Р2 истинно ю. Формальный выражение отношение логического следования:. Р -"Р2. Например, из формулы вида. А следует формула вида. А v. В; из формулы вида --o. А следует формула вида. А; из формулы вида. А v. А следует формула видамула виду. А.

На основании установления отношения ривносильности и следование проводят операцию доказывания определенных формул на истинность по правилам вывода. Операция доказательства - неотъемлемая часть любого чис слення высказываемыеь.

Исчисление логики высказываний - система символов и правил логического вывода из аксиом произвольных формул или теорем с целью их приведения в истинность. Различают натуральное и аксиоматическое исчисление лог гики высказываемыеь.

Натуральное исчисление логики высказываний воспроизводит логическую строение обычных соображений. Впервые натуральные исчисления разработали независимо друг от друга польский логик. С. Яськовский (1906-1965) и немецки й логик. Г. Генцен (1907-1945) в 30-х годах XX в ст.

Рассмотрим одну из систем натурального исчисления, которую обозначим буквой 5. Основные правила системы 5

1. Правила логического следования

(А -. В,. А) -"В (правило модус поненс) (А -"В,-и. В) -"-"А (правило модус толленс) (А,. В) -. А л. В ее)авило. УК - усунення кон'юнкції);

А- (А v. В). В -"(А v. В) (правило. ВД - введение дизъюнкции);

(А 1. В,. А) -"-и. В, (А 1. В -. В) -"А (правило. УД - устранение дизъюнкции);

((А -. В,. В -. А)) -"(А =. В) (правило. ВЕ - введение эквивалентности);

(А =. В) - (А -. В) (А =. В) -"(В -. А) (правило. УЕ - устранение эквивалентности));

А --и-и. А (правило (В32) - введение двойного отрицания);

-"-и. А -. А (правило. У32 - устранение двойного отрицания)

2. Правила построения доказательства

21. Правила построения прямого доказательства Прямое доказательство формулы. А1 - (А2 (Ая -. С) строится следующим образом. На любом шаге доказательства можно определить:

1. Одну из формул. А,. А2,. Ап как предположение

2 формулы, вытекающей из ранее неопределенных формул по правилам логического следования

3 ранее установленной формулу

Прямое доказательство формулы считают построенным, если в соответствии с 1-3 мы получаем последовательность формул, которые завершаются формулой. С. Например, докажем

22. Косвенное доказательство формулы. А, - (А2 -"(Ал -. С) строится так:. На любом шаге доказательства можно определить:

1. Одну из формул. А,,. А2,. Ая как предположение

2 формулы, что противоречит формуле. С

3 формулам, вытекающим из ранее определенных формул по одному из правил логического следования

4. Раньше установленной формулу

Косвенное доказательство формулы. А, - (А - (Ая -. С) считают построенным, если соответственно 1-4 мы получаем последовательность формул, содержащих пару формул, находящихся в отношении противоречия и за авершуються одной из них. Докажем формулу ((А -"В) а -. В) - -"а ->. В) -> -". А.

Доказательство:

Аксиоматическая построение исчисления высказываний

Логические системы такого типа называются гильбертовськимы по имени немецкого математика. Д. Гильберта (1862-1943). По сравнению с системами натурального исчисления в исчислениях гильбертовського типа формальная а структура доказательства существенно отличается от логической строения привычных размышлениянь.

В процессе построения исчислений высказываний гильбертовського типа выбирают конечный запас логических тождеств качестве аксиом и отмечают правила, с помощью которых можно получить из аксиом новые логические тот тожности как теорем соответствующей логической систем.

Рассмотрим систему 5, в которой аксиомами являются следующие формулы:. А,. А (В -"А)

Единственным правилом вывода является правило модус поненс (А -. В,. А) -. В

Доказывание в системы 8 формулы строится таким образом. На любом шаге доказательства можно определить:

1. Одну из аксиом

2 формулы, что следует из ранее определенных формул по правилу модус поненс

Доказательство формулы. Р считают построенным, если в соответствии с 1-2 получаем последовательность формул, завершающиеся формуле. Р. Например, доказательства формулы. А. А строят так. Доведение:

металогический оценка логики высказываний

На уровне мета-логического анализа определяют, что логика высказываний (ЛО) соответствует принципам построения формально-логических систем:

- принципа непротиворечивости, т.е. в ней не выводят никаких двух формул, одна из которой была бы отрицанием другой;

- принципу полноты, то есть все тождественно-истинные формулы являются доказанными формулами. ЛО;

- принципа розвьязуваности, т.е. в. ЛО существует алгоритм, позволяющий для любой формулы вида. А установить, доказана она или нет

Интерпретация логики высказываний (ЛО) означает:

- разъяснение смысла логических символов, обозначающих пропозициональные переменные (логические союзы) в сложном выражении;

- построение семантической модели с целью определения истинностных значений выражений формализованного языка. ЛВ и описания этих значений

Логика высказываний может быть интерпретирована во всех сферах деятельности людей (научной, философской, юридической, экономической и др.), где необходима точность рассуждений и строгость вывода из истинных ср сновке истинных выводову.

Логика высказываний, в рамках которой определенные законы следования (вывода) одних высказываний из других, может быть интерпретирована в рассуждениях, где имеет место строгое вывода. Например, логики и математического политики определили интерпретацию логики высказываний в теории релейно-контактных схем, в теории автоматов и т.п.. Для интерпретации логики высказываний задают класс (множество) высказываний, в рамках которой висло влювання с определенным содержанием может быть формализовано языке логики высказываний и интерпретирована определенная формула, т.е. превращена в высказывания, которой придают значение истинноститі.

Рассмотрим операции формализации высказываний языке логики высказываний и интерпретации формул логики высказываний в сфере права

1"С появлением государства и права в обществе возникают новые виды общественных отношений: политические и правовые"Для формализации этого сложного высказывания определим его формальную структуру и тип логических ного связи. К ним относятся связи конъюнкции (и, и), которые связывают термины"государство","право","политические и правовые отношения", и импликация (следование), выражена нерезко. Записываем ния формально, т.е. языком логики высказываний формально, тобто мовою логіки висловлювань:

2. Построим формулу логики высказываний:. А1В интерпретирует ее в сфере права. Например:"Государственная власть в стране осуществляется либо вследствие соблюдения основных прав человека (А) или вследствие нарушения в основных прав человека (В)"Строгая дизъюнкция исключает одновременно спивистиннисть двух высказываний (соблюдение основных прав человека) (а) и нарушение основных прав человека (В), следовательно, одно из этих выс ловлювань (А,. В) - истинное, а другое - ложное. Предоставим значение истинности высказыванию. А, высказыванию же. В - значение ложности. Находим значение истинности для этой интерпретированной формулы. А1. В. На. Длит тави таблице истинности (см. выше) учитываем: если высказывание. А - истинно, а высказывание. В - ложно, то сложное высказывание, что построено по формуле. А 1. В - истинною. А 1. В, - істинне.