Учебники Онлайн


ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЦЕН

51 Метод наименьших квадратов и оценка кривой спроса

Ценовая политика в значительной степени зависит от спроса, который формируется как сумма индивидуальных спросов. В свою очередь, индивидуальные объемы спроса зависят от доходов, предпочтений покупателей и уровня цен. Итак рыночный спрос - это сумма индивидуальных спросов, соответствующих определенному уровню цен. На спрос влияют две группы факторовів:

1) ценовые - цена товара;

2) неценовые - смена предпочтений покупателя, изменение цен на субституты и комплементы, количество покупателей; колебания доходов покупателей; ценовые ожидания покупателей

Кривая спроса - это график, иллюстрирующий зависимость между ценой и общим объемом спроса всех покупателей

Между спросом и ценой возможны следующие функциональные зависимости:

o линейная;

o параболическая (квадратичная);

o обратная (гиперболическая)

. Линейная зависимость. Кривая, иллюстрирующая линейную зависимость спроса от цены представлена ??на рис 51

Лінійна залежність між попитом та ціною

Рис51. Линейная зависимость между спросом и ценой

Параметры линейной модели (а0 0), (а1 0) указывают на то, что при увеличении цены спрос уменьшается равномерно со скоростью (а1). Например, при увеличении цены от 20 до 40 единиц спрос уменьшится так же, как и при увеличении цены от 60 до 80 единицодиниць.

Параболическая (квадратичная) зависимость. Кривая, иллюстрирующая параболическую (квадратичную) зависимость спроса от цены представлена ??на рис 52

Параболічна залежність між попитом та ціною

Рис 52. Параболическая зависимость между спросом и ценой

Видно, что параболическая кривая имеет параметры модели (а1 0), (а2 0), т.е. имеет вид только одной ветви параболы - ниспадающей. Если (а2 0), то кривая будет выпуклой вверх. В отличие от линейной модел ли, уменьшение спроса при увеличении цены происходит ускоренно - со скоростью (а1 2а2р), т.е. при увеличении цены скорость падения спроса уменьшается. С рис52 видно, что при увеличении цены с 20 д в 40 единиц спрос сокращается больше, чем при увеличении цены от 60 до 80 единиц до 80 одиниць.

. Обратная (гиперболическая) зависимость. Кривая, иллюстрирующая обратную (гиперболическую) зависимость спроса от цены представлена ??на рис 53

Обернена залежність між попитом та ціною

Рис 53. Обратная зависимость между спросом и ценой

Математический вид кривой спроса с обратной (гиперболической) зависимости описывается следующей формулой:

Математичний вигляд кривої попиту з оберненою (гіперболічною) залежністю описується наступною формулою:

Математичний вигляд кривої попиту з оберненою (гіперболічною) залежністю описується наступною формулою:

До осуществления продаж еще неизвестно математическое уравнение зависимости спроса от цены. На этом этапе формирования цены происходит на основе ранее рассмотренных факторов ценообразования. Для поиска оптимально ого цену спроса используют метод наименьших квадрантеів.

Метод наименьших квадратов применяют, когда эмпирическая зависимость между спросом и ценой известна, например - линейная, но надо оценить ее параметры. Он используется для расчета параметров модели и спроса от цены и выбора наиболее точной, надежной и адекватной модели (рис 55.5).

Графічне пояснення методу найменших квадратів

Рис 55. Графическое объяснение метода наименьших квадратов

Предположим, что по результатам наблюдений, получено четыре значения цены на товар (р1, р2, р3, р4) и значение соответствующего спроса (q1, q2, q3, q4). Сначала будем считать, что кривая спроса от цены имеет есть линейный вид. Тогда возникает вопрос:. Какие параметры линейной модели следует принять, чтобы прямая проходила ближе к точкам на плоскостейні.

Метод, который позволяет получить параметры прямой (или другой линии) так, что она будет проходить ближе к точкам, изображенных на рис55, называется методом наименьших квадратов

Известно, что функция приобретает наименьшего или наибольшего значения в точках, где ее производная, или частные производные, равна нулю или не существует. Параметры линейной модели находим из условия, что частные производные функции (51) по переменным (а0) и (а1) равны нулю. Получим формулы, по которым находят значения параметров (а0) и (а1) методом наименьших квадратовів:

Пример 1. Для исследования функции спроса от цены продавец провел пробный продажа нового вида шампуня. Товар предлагался по разным ценам в пяти ритейлерських сетях:"Сильпо","Копейка","Таврия-В. В","Виртус","Фуршет"(51В", "Віртус", "Фуршет" (5.1).

Таблица 51. Объемы продаж шампуня

"Сильпо"

"Копейка"

"Таврия-В"

"Виртус"

"Фуршет"

Цена, (р), грн

20,5

19,5

21

22

21,5

Объем продаж, (q) шт

1674

1745

1602

1028

1346

Прежде чем рассчитывать параметры линейной модели, построим диаграмму распределения объемов продаж и цен (рис 56)

Діаграма розподілу обсягів продажу та цін

Рис 56. Диаграмма распределения объемов продаж и цен

Видно, что точки расположены не на прямой, но и не разбросаны далеко от прямого. Во-первых, предположим, что функция спроса линейная. Чтобы рассчитать параметры линейной модели по формулам 52 и 53 построим в табл 5л. 5.2.

Таблица 52. Вспомогательные данные для получения параметров линейной модели

Допоміжні дані для отримання параметрів лінійної моделі

Линейная функция спроса в рассматриваемом примере имеет следующий вид:

Для нахождения параметров функции спроса от цены удобно использовать табличный процессор EXCEL (рис 57)

Лінійна функція попиту, отримана в EXCEL

Рис 57. Линейная функция спроса, полученная в EXCEL

Для этого нужно построить диаграмму распределения и на графике с помощью правой клавиши вызвать контекстное меню, выбрав"Добавить линию тренда"На графике можно вывести уравнения модели и к коэффициент детерминации (R2), который показывает процент вариации данных, что объясняется моделью. Линейная функция объясняет 81% вариации данных, поскольку (R2 = 0,8055R2 = 0,8055).

Во-вторых, предположим, что функция спроса является параболической (квадратичной). Воспользуемся табличным процессором EXCEL для оценки параметров параболической функции спроса от цены. Для этого выбираем тип линии т тренда -"полиномиальная второй степени"На график выводим уравнение кривой спроса и значение коэффициента детерминации (рис 58ації (рис. 5.8).

Параболічна функція попиту, отримана в EXCEL

Рис 58. Параболическая функция спроса, полученная в EXCEL

Линия, полученная для аппроксимации параболой, находится к точкам ближе, чем прямая. Ее уравнение имеет вид:

Лінія, що була отримана для апроксимації параболою, знаходиться до точок ближче, ніж пряма. Її рівняння має вигляд

Коэффициент детерминации в параболы 99,29%

По-трете, допустим, что функция спроса является обратной (гиперболической). Чтобы получить гиперболическое уравнение кривой спроса от цены, необходимо построить вспомогательный столбец с данными (табл53)

Таблица 53. Вспомогательные данные для получения гиперболической (обратной) кривой

Допоміжні дані для отримання гіперболічної (оберненої) кривої

Это уравнение объясняет лишь 77,54% вариации данных, хуже чем у параболической и линейной кривой спроса (рис59)

Гіперболічна функція попиту, отримана в EXCEL

Рис 59. Гиперболическая функция спроса, полученная в EXCEL

Таким образом, для принятия решений по ценообразованию, оценки эластичности спроса по цене и прогнозирования спроса лучше использовать параболическую модель спроса, чем линейную и гиперболическую